Computer Graphics — Transforming

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2D Transforming

Scale

对于一个 2D 空间的缩放，我们可以认为所有的横 X 坐标都变为了原来的 $s_x$ 倍，所有的纵坐标 Y 都变为原来的 $s_y$ 倍。也就是说我们定义一个缩放函数 $scale(s_x, s_y, x, y)$，那么有：

scale(s_x, s_y, x, y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_xx \\ s_yy \end{bmatrix}

Rotate

对于一个二维平面上的点 $A(x_a, y_a)$，我们将其旋转 $\phi$ 角度到点 $B(x_b, y_b)$。不妨设线段 $OA$ 与横坐标轴的夹角为 $\alpha$，长度为 $r$，于是有：

\begin{cases} r = \sqrt{x_a^2 + y_a^2} \\ x_a = r\cos\alpha \\ y_a = r\sin\alpha \\ x_b = r\cos(\alpha+\phi) = r\cos\alpha\cos\phi - r\sin\alpha\sin\phi = x_a\cos\phi - y_a\sin\phi \\ y_b = r\sin(\alpha+\phi) = r\cos\alpha\sin\phi + r\sin\alpha\cos\phi = x_a\sin\phi + x_a\cos\phi \\ \end{cases}

由此我们可以定义一个旋转函数 $rotate(x, y, \phi)$，那么有：

rotate(x, y, \phi) = \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\phi - y\sin\phi \\ x\sin\phi + x\cos\phi \end{bmatrix}

Shear

Shear 剪切是一种仿射变换，它将每个点沿固定方向移动，移动量与其到给定直线的有符号距离成正比，该直线平行于该方向。在平面 $\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 中，水平剪切（或沿 x 轴的剪切）是一个函数，它将具有坐标 $(x, y)$ 的任意点映射到点 $(x+my, y)$ ；其中 $m$ 是一个固定参数，称为剪切因子。

故我们可以定义两个剪切函数 $shear_x(x, y, m), shear_y(x, y, m)$，那么有：

shear_x(x, y, m) = \begin{bmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + my \\ y \end{bmatrix} \\ shear_y(x, y, m) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ mx + y \end{bmatrix}

有一点有趣的地方在于，可以通过切变来得到旋转:

\begin{align} rotate(\phi) &= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & \frac{\cos\phi-1}{\sin\phi} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \sin\phi & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{\cos\phi-1}{\sin\phi} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= shear_x(\frac{\cos\phi-1}{\sin\phi}) \ shear_y(\sin\phi) \ shear_x(\frac{\cos\phi-1}{\sin\phi}) \end{align}

这意味着任何二维平面上的旋转都可以等同为三次对应切变。

Reflect

反射变换，或者叫翻转变换，实际上就是 $-1$ 倍的缩放变换。但是注意只能翻转一个轴，否则的话就等同于旋转了。

Composition and Decomposition

Composition

注意到以上变换都可以使用二维矩阵表示，于是连续的变换就可以通过矩阵乘法表现出来，例如：

\begin{align} &scale(0.5, 0.5) \text{ then } rotate(\frac{\pi}{4})\\ &= \begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{\pi}{4} \\ \sin\frac{\pi}{4} & \cos\frac{\pi}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} \\ \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{\sqrt{2}}{4}y \\ \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{4}y \end{bmatrix} \end{align}

需要注意的在于，根据矩阵乘法的定义，变换应该按顺序左乘，也就是按照变换顺序从右往左写变换矩阵。

还有一点就是，矩阵乘法具有结合律，因此我们可以先将所有变换矩阵相乘，得到混合的、总的变换矩阵。

Decomposition

既然变换矩阵是可以组合在一起呢，那么给出一个组合起来的矩阵，我们如何知道进行了哪些变换呢？

假设有线性变换核心矩阵 $A$：

A = \begin{bmatrix} m_{00} & m_{01} \\ m_{10} & m_{11} \end{bmatrix}

根据不同的数学原理和应用场景，有以下五种核心的分解方法：

直接代数提取法 (Direct TRS Extraction)

这是游戏引擎中最基础、计算性能最高的方法，前提是假设矩阵不包含错切（Shear）。

提取逻辑（列向量标准下）：
- 缩放 (Scale)：基向量的模长。
  $Scale_x = \sqrt{m_{00}^2 + m_{10}^2}, \quad Scale_y = \sqrt{m_{01}^2 + m_{11}^2}$
- 旋转 (Rotation)：归一化基向量后，通过反三角函数求角。
  $\theta = \text{atan2}(m_{10}, m_{00})$
局限性：如果经过非等比缩放后再旋转（产生错切），或者存在镜像（负缩放），直接提取会导致结果错误。
应用场景：常规 Transform 组件的 TRS 参数同步与重构。

QR 分解 (QR Decomposition)

将矩阵分解为一个正交矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R$：

A = Q \cdot R

几何意义：
- $Q$（正交矩阵）：代表旋转（可能含镜像）。
- $R$（上三角矩阵）：代表缩放和错切。
- 操作顺序等价于：先缩放，再错切，最后旋转。
应用场景：UI 动画系统（如 CSS3 / SVG Matrix 规范），需要精确剥离并处理错切参数的场景。

极分解 (Polar Decomposition)

将矩阵分解为一个正交矩阵 $U$ 和一个对称半正定矩阵 $P$：

A = U \cdot P

几何意义：
- $U$（正交矩阵）：代表最近似的纯刚体旋转。
- $P$（对称矩阵）：代表所有的非刚体形变（拉伸与错切）。
应用场景：骨骼动画系统与矩阵插值。剥离出纯旋转进行球面线性插值（Slerp），形变部分进行线性插值（Lerp），能有效防止动画过渡时出现诡异的体积扭曲。

奇异值分解 (SVD, Singular Value Decomposition)

最彻底、最具普适性的代数分解方法。任何实矩阵皆可分解：

A = U \cdot \Sigma \cdot V^T

几何意义：
- $V^T$：第一次局部旋转。
- $\Sigma$（对角矩阵）：沿着局部坐标轴的非等比缩放。
- $U$：第二次全局旋转。
- 操作顺序等价于：转到一个特定角度 $\rightarrow$ 沿 XY 轴正交拉伸 $\rightarrow$ 再转到一个新角度。
应用场景：物理引擎碰撞与形变处理、病态矩阵求逆、高级数学分析。

特征分解 / 谱分解 (Eigendecomposition)

将矩阵分解为旋转、对角缩放、逆旋转：

A = R \cdot S \cdot R^T

先决条件：矩阵 $A$ 必须是对称矩阵（$A = A^T$），即不包含全局旋转。
几何意义：
- $R^T$：将受力方向对齐到局部坐标轴。
- $S$：在局部空间进行纯对角缩放（特征值即缩放比例）。
- $R$：旋转回世界空间。
- 本质是局部坐标系下的非等比缩放。
应用场景：作为 SVD 和极分解的底层推导（例如对极分解中的形变矩阵 $P$ 求解具体拉伸轴向），以及碰撞检测中的 OBB（方向包围盒）协方差矩阵分析。

分解方法	公式	提取出的几何分量	核心应用领域
直接法 (TRS)	代数公式	缩放、旋转	游戏对象基础变换，逻辑层 Transform 同步
QR 分解	$A = QR$	旋转、缩放、错切	前端渲染、带错切的 2D UI 变形动画
极分解 (Polar)	$A = UP$	刚体旋转、拉伸形变	骨骼蒙皮、消除扭曲的矩阵平滑插值
SVD	$A = U\Sigma V^T$	旋转1、轴向缩放、旋转2	物理引擎形变计算、高鲁棒性底层算法
特征分解	$A = RSR^T$	局部轴向缩放	仅限对称矩阵，用于解析形变轴向、包围盒生成

Translation

Translation 平移是很简单的变换，但也是最特殊的变换，因为它并不是平移变换。我们定义一个平移函数 $translation(x, y, dx, dy)$，有：

$$ translation(x, y, dx, dy) = (x+dx, y+dy) $$

由于并不是线性变换，因此无法使用同纬度的矩阵来表示，这就意味着无法把所有变换合并成一个单一的变换矩阵

吗？

Transformation Matrix

Translation Matrix?

为了解决将所有变换都合并起来的问题，数学家们使用了一个很 tricky 的方法：

引入齐次坐标，通过升维操作，将二维的平移转换成三维的错切 shear，具体来说是，我们将一个二维点坐标 $(x, y)$ 补充一个 $w$ 分量，升维成使用三维向量 $[x \ y \ w]^T$ 表示。为了方便起见一般设 $w=1$，并且约定 $w \neq 0$ 时 $[\frac{x}{w} \ \frac{y}{w} \ 1]^T$ 与 $[x \ y \ w]$ 表示的是同一个点；$w = 0$ 时我们则认为表示的就是一个向量，而不是一个点，这么做的原因是确保二维向量经过平移变换后仍然是不变的，这一点将在后面证明。

想象一个左下角在原点、两条边紧贴横轴与纵轴的矩形。在二维 Shear 变换中，我们将每个点沿一个固定方向移动，不妨设为纵轴正方向。我们可以得知：紧贴着纵轴的边是不变的，与纵轴平行的边依旧平行且长度不变。这在直觉上相当于：这条边沿着纵轴正方向平移了！

我们可以从坐标变换中更清晰地看出这一点：

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ kx + y \end{bmatrix}

对于一条平行于 $y$ 轴的直线 $x=c$，其线上的点在 shear 变换后的坐标为 $\begin{bmatrix} c & kc + y \end{bmatrix}^T$，对于这条线段本身而言，它的 $x$ 坐标没变，形状没变，只是整体在 $y$ 轴上增加了 $kc$ 的距离。在它的 1D 视角里，它确确实实只是做了一次一维平移。

于是，我们将这个思想继续应用到三维 shear，如果我们以 $z = 0$ 平面为固定底座进行三维 shear，那么在 $z = w$ 这个截面上，我们看到的就应该是 2D 图形的大小形状不变，且整体进行着平移变换！因此我们可以反推出变换矩阵，我们目前坐标为 $(x, y, w)^T$，期望平移变换到点 $(x+t_x, y+t_y, w)^T$ 上，不难推出该变换矩阵：

\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + t_xw \\ y + t_yw \\ w \end{bmatrix}

只要我们令 $w = 1$，那么 $t_x, t_y$ 就直接是对应的偏移量了，这也是前面说的“一般设 $w=1$”的原因。此外这还能解释为什么“$w = 0$ 时我们则认为表示的就是一个向量”，因为此时变换前后的坐标值并没有变化，这正符合向量的平移不变性！

Transformation Matrix!

我们虽然成功将 Translation 变换使用矩阵表示了出来，但是Translation 变换要使用三维矩阵，其他的线性变换却都是二维矩阵，这意味着无法通过矩阵乘法将它们进行结合。

然而若使用分块矩阵的思想，这个问题其实不难解决，我们将 Translation 变换矩阵进行分块可以得到：

\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & tx \\ 0 & 1 & ty \\ \hline 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

按从左上到右下的顺序，以此命名为区域 $I, II, III, IV$。区域 $III, IV$ 我们可以先不管（区域 III $\begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$ 代表了投影分量（Projection）。正是因为它严格为 $\begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$，才保证了变换后的 $w$ 依然是 $1$；区域 IV 的 $1$ 代表全局缩放系数，如果不为 $1$，整个坐标系会被等比放大或缩小）。区域 $II$ 表示的是平移偏移量，注意到区域 $I$ 正好是 Identity Matrix，如果我们只看这一部分，那么其对二维上的点的影响是什么呢？我们将区域 $I$ 替换成 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，代入矩阵乘法中得到：

\begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by + t_xw \\ cx + dy + t_yw \\ w \end{bmatrix}

不难注意到区域 $I$ 代表的正是对 $(x, y)$ 进行线性变换！也就是说，我们完全可以将区域 $I$ 替换成先前的聚合变换矩阵！这样修改后的矩阵的作用相当于先进行线性变换，再进行平移变换，这样问题便解决了，解决的办法就是通过一个矩阵将线性变换和平移结合起来，并且这样得到的矩阵本身是可以再聚合的。

最终我们得到的同时包含了线性映射与平移的矩阵，我们称之为 Affine Transformation Matrix（仿射变换矩阵），而区域 $I$ 称为线性变换区域，区域 $II$ 称为平移变换区域，区域 $III, IV$ 在实际存储中可以省略（恒为 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$），使用时再补齐。

3D Transforming

在充分理解了 2D 变换的基础上，3D 变换并不难理解，其实基本相同。

Scale

scale(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix}

Rotation

rotate_z(\phi) = \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ rotate_x(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \\ \\ rotate_y(\phi) = \begin{bmatrix} \cos\phi & 0 & \sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi \end{bmatrix}

注意到绕 $y$ 轴旋转似乎有些特殊，其旋转分量拆分出来是 $\begin{bmatrix} cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$，按另外的都是 $\begin{bmatrix} cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix}$，这实际上是旋转对称性带来的错觉。我们将点 $(x, y, z)^T$ 变换后的坐标分别写出来，得到：

\begin{bmatrix} x\cos\phi - y\sin\phi \\ x\sin\phi + y\cos\phi \\ z \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x \\ y\cos\phi - z\sin\phi \\ y\sin\phi + z\cos\phi \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} x\cos\phi + z\sin\phi \\ y \\ -x\sin\phi + z\cos\phi \\ \end{bmatrix}

可以看出其形式是完全相同的，只是我们在写的时候由于 $x$ 分量在上，因此要将 $x$ 项提前，因此破坏了轮转。

然而现在的旋转只能局限于坐标轴的三个方向，如果我希望绕着任意一个方向向量旋转呢？**罗德里格斯旋转公式（Rodrigues’ Rotation Formula）**将给你答案，下面我们进行该公式的推导。

首先先明确我们的问题，给定空间中任意一个单位向量作为旋转轴 $\mathbf{u}$，以及一个旋转角度 $\phi$，要求计算出空间中任意一点（或向量）$\mathbf{v}$ 绕该轴旋转后的新位置 $\mathbf{v}'$。

我们首先将目标向量 $\mathbf{v}$ 分解为平行于旋转轴 $\mathbf{u}$ 的分量 $\mathbf{v}_{\parallel}$ 和垂直的分量 $\mathbf{v}_{\perp}$，这是因为平行分量再旋转后是不变的，因此后续只需要讨论垂直分量。平行分量可以通过点乘得到，而垂直分量可以通过作差得到：

\mathbf{v}_{\parallel} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} \\ \mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{v} - \mathbf{v}_{\parallel} = \mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} = -\mathbf{u} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v})

表示出来了之后，我们开始考垂直分量 $\mathbf{v}_{\perp}$ 的旋转，由于其与旋转轴 $\mathbf{u}$ 相互垂直，那么其旋转实际上就是垂直平面上的二维旋转，为了描述这个垂直平面，我们还需要一个基向量

\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (\mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{v}_{\perp}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v}_{\parallel} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}_{\perp} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}_{\perp}

由于 $\mathbf{v}_{\perp}$ 和 $\mathbf{w}$ 就是垂直平面的基向量，且 $||\mathbf{w}|| = ||\mathbf{u} \times \mathbf{v}_{\perp}|| = ||\mathbf{u}|| \cdot ||\mathbf{v}_{\perp}|| \cdot \sin\frac{\pi}{2} = ||\mathbf{v}_{\perp}||$，因此我们很容易可以得到 $\mathbf{v}_{\perp}$ 旋转后的向量为：

\mathbf{v}_{\perp}' = \cos\phi \cdot \mathbf{v}_{\perp} + \sin\phi \cdot \mathbf{w}

现在只要再加上平行分量 $\mathbf{v}_{\parallel}$ 就能得到旋转后的最终向量：

\begin{align} \mathbf{v}' &= \mathbf{v}_{\parallel}' + \mathbf{v}_{\perp}' \\ &= \mathbf{v}_{\parallel} + \cos\phi \cdot \mathbf{v}_{\perp} + \sin\phi \cdot \mathbf{w} \\ &= (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} + \cos\phi \cdot (\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}) + \sin\phi \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= \cos\phi \cdot \mathbf{v} + (1 - \cos\phi)(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\mathbf{u} + \sin\phi \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= \left(\cos\phi \cdot I + (1 - \cos\phi)\mathbf{u}\mathbf{u}^T + \sin\phi \cdot \begin{bmatrix} 0 &-u_z &u_y \\ u_z &0 &-u_x \\ -u_y &u_x &0 \end{bmatrix}\right)\mathbf{v} \end{align}

还有别的表示方法，比如令 $U = \begin{bmatrix} 0 &-u_z &u_y \\ u_z &0 &-u_x \\ -u_y &u_x &0 \end{bmatrix}$，于是有 $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {U} \mathbf {v} ,\quad \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {U} (\mathbf {U} \mathbf {v} )=\mathbf {U} ^{2}\mathbf {v}$。将表达式重新推导下：

\begin{align} \mathbf{v}' &= \mathbf{v}_{\parallel}' + \mathbf{v}_{\perp}' \\ &= \mathbf{v}_{\parallel} + \cos\phi \cdot \mathbf{v}_{\perp} + \sin\phi \cdot \mathbf{w} \\ &= (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} + \cos\phi \cdot (\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}) + \sin\phi \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= \cos\phi \cdot \mathbf{v} + (1 - \cos\phi)(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})\mathbf{u} + \sin\phi \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &// \ \text{Simplified Using Vector Triple Product} \\ &= \mathbf{v} + \sin\phi(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) + (1-\cos\phi) \mathbf{u} \times (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \\ &= \mathbf{v} +(\sin\phi)\mathbf{U}\mathbf{v} + (1-\cos\phi)\mathbf{U}^{2}\mathbf{v} \\ &= \mathbf{Rv} \end{align}

其中 $\mathbf{R}$ 就是常用的旋转矩阵：

\mathbf{R} =\mathbf{I} + (\sin\phi)\mathbf{U} + (1-\cos\phi)\mathbf{U}^{2}

Shear

三维切变变换实际上在上一节中平移变换推导中提到了，这里只给出沿轴的变换矩阵。

shear_x(dy, dz) = \begin{bmatrix} 1 & dy & dz \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ shear_y(dx, dz) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ dx & 1 & dz \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ shear_z(dx, dy) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ dx & dy & 1 \end{bmatrix}

Translation

translation(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

Extra

现在考虑一个问题，对于一个物体，使其绕着空间中某一条直线旋转特定角度，如何使用 transformation matrix 来表示呢？

我们先前讨论的旋转，一开始都是以某个坐标轴为旋转轴进行的，后来经过拓展我们可以绕过原点的任意轴进行旋转。因此若对于任意的旋转轴，只要我们能够将旋转轴经过原点就好了。顺着这样思路下去，只要我们将旋转轴平移到穿过原点，再对物体进行旋转，在平移变换过程中，需要旋转的物体跟着进行相同的变换来保证相对位置不变，旋转完成后再逆平移变换回去就好了。

因此我们首先设初始旋转轴过空间中一点 $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$，其单位方向向量 $u = (u_x, u_y, u_z)$，那么我们可以得到每一步的矩阵：

T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_0 \\ 0 & 1 & 0 & -y_0 \\ 0 & 0 & 1 & -z_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ R = \mathbf{I} + (\sin\phi)\mathbf{U} + (1-\cos\phi)\mathbf{U}^{2} \\ \\ T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_0 \\ 0 & 1 & 0 & y_0 \\ 0 & 0 & 1 & z_0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

只需要将 $R$ 修改成齐次坐标形式 $R_{homo}$，那么我们就可以得到最终的变化矩阵

M = T^{-1} \cdot R_{homo} \cdot T

这样的变换，我们也可以认为是从世界空间变换到了局部旋转空间，进行旋转再变换回世界空间，这正是我们下面要说明的**视图变换（View Transform）**概念的雏形。

Normal Transformation

法线变换是比较特殊的，并且与后面的 Shading 部分关系紧密，因此我们需要专门推导。

假设存在一个表面向量 $\mathbf{t}$，其法向量为 $\mathbf{n}$，有 $\mathbf{n}^T\mathbf{t} = 0$。在物体经过变换 $M$ 之后，其表面向量也会进行相应变换 $\mathbf{t}' = M\mathbf{t}$，但是法向量应该怎么变换呢？我们不妨设其变换为 $N$，有：

\mathbf{n}'^T\mathbf{t}' = (N\mathbf{n})^T(M\mathbf{t}) = \mathbf{n}^T(N^TM)\mathbf{t}

我们的期望是，变化后的法线 $\mathbf{n}'$ 与变化后的平面向量 $\mathbf{t}'$ 依然垂直，不难观察得到，如果 $N = (M^{-1})^T$，那么就可以符合我们的要求：

\mathbf{n}'^T\mathbf{t}' = \mathbf{n}^T(M^{-1}M)\mathbf{t} = \mathbf{n}^T\mathbf{t} = 0

有一点可以注意的是，如果变换矩阵 $M$ 只包含旋转（Rotation）和等比缩放（Uniform Scale），那么它本质上是一个正交矩阵（的常数倍）。对于正交矩阵，存在数学性质 $(M^{-1})^T = M$。这意味着在这种情况下，法线可以直接使用原顶点变换矩阵 $M$ 进行变换，从而省去求逆矩阵的昂贵计算开销。